PENYEDERHANAAN FUNGSI BOLEAN

I.       Aljabar bolean

             Definisi dari sebuah Aljabar Boolean adalah sebuah system aljabar yang terdiri atas himpunan semesta S bersama dengan dua buah operasi yaitu : penjumlahan/addition (+) dan perkalian/multiplication ( . )

         

          Aturan aturan yang ada pada aljabar boolean pada intinya adalah pembentukan persamaan yang menggunakan beberapa jenis operator (OR, AND, dan Not) sehingga aljabar boolean merupakan alat matematis yang cocok untuk keperluan analisis rangkaian logika. Untuk mendapatkan rangkaian logika maka diperlukannya metode-metode penyederhanaan agar fungsi booleannya menghasilkan fungsi yang sederhana sehingga dapat membentuk rangkaian logika.

Penyederhanaan Fungsi Boolean yang pada saat ini digunakan untuk menghasilkan  suatu rangkaian logika digital yang sederhana terdiri dari beberapa jenis metode penyederhanaan. Metode-metode yang digunakan antara lain Metode Aljabar, Metode Peta Karnaugh, dan Metode Quine-McCluskey yang memiliki mekanisme kerja yang berbeda untuk menghasilkan penyederhanaan untuk membentuk suatu rangkaian logika digital.

Penyederhanaan secara Aljabar, dilakukan dengan memodifikasi persamaan Boolean dimana dalam penyederhanaannya menggunakan teorema / aksioma dualitas untuk membuat bentuk yang paling sederhana. Salah satu cara yang dapat digunakan adalah memanipulasi Aljabar Boolean.

Karena metode Aljabar Boolean bersifat trial and error, maka penyederhanaan dengan metode aljabar ini tidak digunakan dalam kasus nyata. Metode yang paling banyak digunakan adalah Peta Karnaugh dimana cara menggambarkannya dengan sejumlah kotak berbentuk persegi panjang yang berisi minimal term (minterm) dari fungsi booleannya dan banyaknya kotak bergantung pada banyaknya jumlah input dari fungsi tersebut. Metode lain yang digunakan adalah metode Quine-McCluskey atau biasa disebut dengan metode tabulasi.

Pada prakteknya, fungsi boolean yang jumlah variabelnya kurang dari empat dapat dengan mudah disederhanakan menggunakan metode Aljabar dan Peta Karnaugh. Sedangkan fungsi boolean yang jumlah variabelnya lebih dari empat, kedua metode diatas sering kali menghasilkan penyederhanaan fungsi yang bentuknya tidak sederhana. Metode Quine-McCluskey lebih tepat untuk menyelesaikan kasus ini. Penyederhanaan dengan menggunakan metode Quine McCluskey dilakukan dengan cara  menyatakan variabel komplemen dengan 0 variabel bukan komplemen dengan 1 dari bentuk baku fungsi booleannya, setelah itu mengkelompokan suku-suku berdasarkan jumlah 1 lalu mengkombinasikan suku-suku tersebut dengan kelompok lain yang jumlah 1 -nya berbeda satu sehingga diperoleh bentuk prime yang sederhana untuk mencari prime implicants serta memilih prime implicants yang mempunyai jumlah literal paling sedikit.

II. Hukum-Hukum Aljabar Bolean

III.  Penyederhanaan Fungsi Bolean

          Ada tiga cara dalam penyederhanaan fungsi bolean:

 1. Cara Aljabar

·       Bersifat trial and error (tidak ada pegangan)

·       Penyederhanaan menggunakan aksioma-aksioma dan

teorema-teorema yang ada pada aljabar Boolean

2. Peta Karnaugh

·       Mengacu pada diagram Venn

·       Menggunakan bentuk-bentuk peta Karnaugh

3. Metoda Quine-McCluskey

·       Penyederhanaan didasarkan pada hukum distribusi

·       Eliminasi Prime Implicant Redundant

IV.  Penyederhanaan Cara Aljabar

Contoh 1:

—  Sederhanakan a + a’b !

—  Penyelesaian:

          a + a’b = (a + ab) + a’b  (Penyerapan)

                         = a + (ab + a’b)        (Asosiatif)

                         = a + (a + a’) b         (Distributif)

                         = a + 1 · b    (Komplemen)

                         = a + b            (Identitas)

Contoh 2:

·       f(x,y) = x’y + xy’ + xy

·       Jawab:

f(x,y) = x’y + xy’ + xy

= x’y + x . (y’+y)   (Distributif)

= x’y + x . 1           ( Komplemen)

= x’y + x               (Identitas)

= (x’+x)(x+y)         (Distributif)

= 1 . (x+y)            (Komplemen)

= x+y                    (Identitas)

V.  Penyederhanaan dengan peta karnaugh

Peta karnaugh merupakan sekumpulan kotak-kotak yang diberi nama sedemikian rupa berdasarkan nama variabelnya dan Diletakkan sedemikian rupa pula sehingga dapat mengeliminasi beberapa tabel jika kotak itu digabung.

Jumlah kotak tergantung banyaknya variabel input. Jika ada sebanyak n input maka ada 2ⁿ kombinasi input, maka sebanyak itu pula kotak yang dibutuhkan.Dalam peta karnaugh dikenal istilah tetangga dekat. Yang dimaksud dengan tetangga dekat adalah kotak-kotak yang memiliki satu atau lebih variabel yang sama atau kotak-kotak yang terletak dalam satu atau lebih bidang yang sama.Yang dimaksud dengan bidang adalah sekumpulan kotak yang sudah diberi nama berdasarkan variabel inputnya.

Peta karnaugh 2 variabel:

Sebuah rangkaian logika yang mempunyai 2 buah input, maka akan mempunyai 4 buah variabel input (sesuai dengan rumus 2ⁿ = 2² = 4).Bentuk Peta Karnaughnya adalah seperti dibawah ini :

Pengabungan kotak Untuk 2 variabel (a dan b)

·        Jika ada 2 kotak yang ditandai 1 bertetangga dekat dapat digabung, akan menyatakan 1 variabel tunggal.

·        Untuk 1 kotak yang ditandai 1 dan tidak memiliki tetangga dekat, akan menyatakan 2 variabel

Peta karnaugh 3 variabel:

Dalam sebuah rangkaian logika yang mempunyai tiga buah input, akan mempunyai 8 buah kombinasi variabel input ( 2³ ). Jadi sebuah Peta Karnaugh dari sebuah rangkaian logika dengan 3 buah input akan memiliki 8 buah kotak.

Bentuk Peta Karnaughnya adalah :

  

Bila kita perhatikan, penempatan nilai 11 ada dikolom ketiga dari Peta Karnaugh tiga variabel. Prinsip yang dipergunakan adalah perubahan antara kolom yang satu dengan yang lainnya harus memiliki satu nilai perubahan saja. Demikian juga dengan Peta Karnaugh diatas, kolom ke-2 = 01maka pada kolom berikutnya (ke-3) harus 00 atau 11, karena pada kolom pertama 00 sudah didefinisikan, maka kolom ke-3 diisi dengan nilai 11.

Penggabungan kotak pada 3 fariabel (a,b,c)

—  4 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung, akan menyatakan 1 variabel tunggal.

—  2 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung, akan menyatakan 2 variabel.

—  1 kotak yang tidak bertetangga dekat akan menyatakan 3 variabel

Peta karnaugh 4 variabel

                Apabila sebuah rangkaian logika mempunyai empat buah variabel input, maka akan dihasilkan sebanyak 16 buah kombinasi variabel input. Untuk menggambarkan Peta Karnaugh dengan 4 buah input, maka harus dibuatkan 16 buah kotak.

Penggabungan kotak pada 4 fariabel (a,b,c,d)

—  8 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung akan menyatakan 1 variabel tunggal.

—  4 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung akan menyatakan 2 variabel tunggal.

—  2 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung akan menyatakan 3 variabel.

—  1 kotak yang tidak bertetangga dekat akan menyatakan 4 variabel

Cara Penyederhanaan 2 variabel

Sederhanakan     f(x,y) = x’y + xy’ + xy

                                      = m1 + m2 + m3

Jawab:                 sesuai dengan bentuk minteren maka tiga kotak diisi dgn 1 kemudian buat klompok pada kotak.

   

Maka dihasilkan =X+Y

Cara penyederhanaan 3 variabel

Sederhanakan              f(x,y,z) = x’y’z’ + x’y’z + x’yz + x’yz’ + xy’z’ + xyz’

Jawab:                

F(x,y,z)= x’+z’

— Share It —

• Facebook
• Twitter
• Google+
• Linkedin
• Pin It

About try haryadi

Hi, My Name is Hafeez. I am a webdesigner, blogspot developer and UI designer. I am a certified Themeforest top contributor and popular at JavaScript engineers. We have a team of professinal programmers, developers work together and make unique blogger templates.