I. Aljabar bolean
Definisi dari sebuah Aljabar Boolean
adalah sebuah system aljabar yang terdiri atas himpunan semesta S bersama
dengan dua buah operasi yaitu : penjumlahan/addition (+) dan perkalian/multiplication
( . )
Aturan
aturan yang ada pada aljabar boolean pada intinya adalah pembentukan persamaan
yang menggunakan beberapa jenis operator (OR, AND, dan Not) sehingga aljabar
boolean merupakan alat matematis yang cocok untuk keperluan analisis rangkaian
logika. Untuk mendapatkan rangkaian logika maka diperlukannya metode-metode
penyederhanaan agar fungsi booleannya menghasilkan fungsi yang sederhana
sehingga dapat membentuk rangkaian logika.
Penyederhanaan Fungsi Boolean yang pada
saat ini digunakan untuk menghasilkan
suatu rangkaian logika digital yang sederhana terdiri dari beberapa
jenis metode penyederhanaan. Metode-metode yang digunakan antara lain Metode
Aljabar, Metode Peta Karnaugh, dan Metode Quine-McCluskey yang memiliki
mekanisme kerja yang berbeda untuk menghasilkan penyederhanaan untuk membentuk
suatu rangkaian logika digital.
Penyederhanaan secara Aljabar,
dilakukan dengan memodifikasi persamaan Boolean dimana dalam penyederhanaannya
menggunakan teorema / aksioma dualitas untuk membuat bentuk yang paling
sederhana. Salah satu cara yang dapat digunakan adalah memanipulasi Aljabar
Boolean.
Karena metode Aljabar Boolean bersifat trial
and error, maka penyederhanaan dengan metode aljabar ini tidak digunakan
dalam kasus nyata. Metode yang paling banyak digunakan adalah Peta Karnaugh
dimana cara menggambarkannya dengan sejumlah kotak berbentuk persegi panjang
yang berisi minimal term (minterm) dari fungsi booleannya dan banyaknya
kotak bergantung pada banyaknya jumlah input dari fungsi tersebut. Metode lain
yang digunakan adalah metode Quine-McCluskey atau biasa disebut dengan metode
tabulasi.
Pada prakteknya, fungsi boolean yang
jumlah variabelnya kurang dari empat dapat dengan mudah disederhanakan
menggunakan metode Aljabar dan Peta Karnaugh. Sedangkan fungsi boolean yang
jumlah variabelnya lebih dari empat, kedua metode diatas sering kali
menghasilkan penyederhanaan fungsi yang bentuknya tidak sederhana. Metode
Quine-McCluskey lebih tepat untuk menyelesaikan kasus ini. Penyederhanaan
dengan menggunakan metode Quine McCluskey dilakukan dengan cara menyatakan variabel komplemen dengan 0
variabel bukan komplemen dengan 1 dari bentuk baku fungsi booleannya, setelah
itu mengkelompokan suku-suku berdasarkan jumlah 1 lalu mengkombinasikan suku-suku
tersebut dengan kelompok lain yang jumlah 1 -nya berbeda satu sehingga
diperoleh bentuk prime yang sederhana untuk mencari prime implicants serta
memilih prime implicants yang mempunyai jumlah literal paling sedikit.
II. Hukum-Hukum Aljabar Bolean
III.
Penyederhanaan Fungsi Bolean
Ada tiga
cara dalam penyederhanaan fungsi bolean:
1. Cara Aljabar
· Bersifat
trial and error (tidak ada pegangan)
·
Penyederhanaan menggunakan aksioma-aksioma dan
teorema-teorema yang ada pada aljabar Boolean
2. Peta Karnaugh
·
Mengacu pada diagram Venn
·
Menggunakan bentuk-bentuk peta Karnaugh
3. Metoda Quine-McCluskey
·
Penyederhanaan didasarkan pada hukum distribusi
·
Eliminasi Prime Implicant Redundant
IV. Penyederhanaan Cara Aljabar
Contoh 1:
— Sederhanakan
a + a’b !
— Penyelesaian:
a + a’b
= (a + ab) + a’b (Penyerapan)
= a + (ab + a’b) (Asosiatif)
= a + (a + a’) b (Distributif)
= a + 1 ·
b (Komplemen)
= a + b (Identitas)
Contoh 2:
· f(x,y) = x’y + xy’ + xy
· Jawab:
f(x,y) = x’y + xy’ + xy
= x’y + x . (y’+y) (Distributif)
= x’y + x . 1 (
Komplemen)
= x’y + x (Identitas)
= (x’+x)(x+y) (Distributif)
= 1 . (x+y) (Komplemen)
= x+y (Identitas)
V. Penyederhanaan dengan peta karnaugh
Peta karnaugh merupakan
sekumpulan kotak-kotak yang diberi nama sedemikian rupa berdasarkan nama
variabelnya dan Diletakkan sedemikian rupa pula
sehingga dapat mengeliminasi beberapa tabel jika kotak itu digabung.
Jumlah kotak tergantung banyaknya
variabel input. Jika ada sebanyak n input maka ada 2n kombinasi
input, maka sebanyak itu pula kotak yang dibutuhkan.Dalam peta karnaugh dikenal
istilah tetangga dekat. Yang dimaksud dengan tetangga dekat adalah kotak-kotak
yang memiliki satu atau lebih variabel yang sama atau kotak-kotak yang terletak
dalam satu atau lebih bidang yang sama.Yang dimaksud dengan bidang adalah
sekumpulan kotak yang sudah diberi nama berdasarkan variabel inputnya.
Peta karnaugh 2 variabel:
Sebuah rangkaian logika yang mempunyai 2 buah input, maka
akan mempunyai 4 buah variabel input (sesuai dengan rumus 2n = 22
= 4).Bentuk Peta Karnaughnya adalah seperti dibawah ini :
Pengabungan kotak Untuk 2 variabel (a
dan b)
·
Jika ada 2 kotak yang ditandai
1 bertetangga dekat dapat digabung, akan menyatakan 1 variabel tunggal.
·
Untuk 1 kotak yang ditandai 1 dan tidak memiliki tetangga dekat, akan
menyatakan 2 variabel
Peta karnaugh 3 variabel:
Dalam
sebuah rangkaian logika yang mempunyai tiga buah input, akan mempunyai 8 buah
kombinasi variabel input ( 23 ). Jadi sebuah Peta Karnaugh dari
sebuah rangkaian logika dengan 3 buah input akan memiliki 8 buah kotak.
Bentuk
Peta Karnaughnya adalah :
Bila kita perhatikan, penempatan
nilai 11 ada dikolom ketiga dari Peta Karnaugh tiga variabel. Prinsip yang
dipergunakan adalah perubahan antara kolom yang satu dengan yang lainnya harus
memiliki satu nilai perubahan saja. Demikian juga dengan Peta Karnaugh diatas,
kolom ke-2 = 01maka pada kolom berikutnya (ke-3) harus 00 atau 11, karena pada
kolom pertama 00 sudah didefinisikan, maka kolom ke-3 diisi dengan nilai 11.
Penggabungan kotak pada
3 fariabel (a,b,c)
— 4 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung, akan menyatakan 1 variabel tunggal.
— 2 kotak yang bertetangga dekat dapat digabung, akan menyatakan 2 variabel.
— 1 kotak yang tidak bertetangga dekat akan
menyatakan 3 variabel
Peta karnaugh
4 variabel
Apabila sebuah rangkaian logika
mempunyai empat buah variabel input, maka akan dihasilkan sebanyak 16 buah
kombinasi variabel input. Untuk menggambarkan Peta Karnaugh dengan 4 buah
input, maka harus dibuatkan 16 buah kotak.
Penggabungan kotak pada
4 fariabel (a,b,c,d)
— 8 kotak yang bertetangga
dekat dapat digabung akan menyatakan 1 variabel
tunggal.
— 4 kotak yang bertetangga
dekat dapat digabung akan menyatakan 2 variabel
tunggal.
— 2 kotak yang bertetangga
dekat dapat digabung akan menyatakan 3 variabel.
— 1 kotak yang tidak
bertetangga dekat akan menyatakan 4 variabel
Cara Penyederhanaan 2 variabel
Sederhanakan f(x,y) = x’y + xy’ + xy
= m1 + m2
+ m3
Jawab: sesuai
dengan bentuk minteren maka tiga kotak diisi dgn 1 kemudian buat klompok pada
kotak.
Maka dihasilkan =X+Y
Cara
penyederhanaan 3 variabel
Jawab:
F(x,y,z)= x’+z’
About try haryadi
Hi, My Name is Hafeez. I am a webdesigner, blogspot developer and UI designer. I am a certified Themeforest top contributor and popular at JavaScript engineers. We have a team of professinal programmers, developers work together and make unique blogger templates.
thk gan
BalasHapus